Apunte sobre el caos estadístico

04/09/09 | por FFCT | Sección: Ciencia y tecnología

Voy a empezar por el final, es decir, por los resultados: (1) tome Ud. un conjunto de muchas, ad infinitum, variables (que representen bien energías, bien momentos, bien dineros, bien fuerzas, etc.), bien sean deterministas o bien sean random, sometidas a una ley de conservación aditiva, (2) encuentre Ud. un mecanismo para que el conjunto de todas esas variables recorran de forma equiprobable la hipersuperficie sobre la que están obligadas a moverse debido a la condición de conservación, (3) entonces la probabilidad de encontrar un determinado valor de la variable sobre toda la colectividad viene dado por la distribución exponencial. En pocas palabras, la probabilidad de la variable sobre la colectividad está gobernada por la distribución de Boltzmann-Gibbs (exponencial), que no quiere decir otra cosa en su versión light más que que la probabilidad de encontrar simultáneamente dos eventos (i, j) de la variable, llamémosla X, con valores (x_i, x_j) es igual a la probabilidad de encontrar un evento con valor (x_i + x_j). Esta es, ni más ni menos, el acta fundacional de la mecánica estadística clásica, esto es, una fórmula que en esa versión light dice algo así como P(x_i) * P(x_j) = P( x_i + x_j ). No es necesaria mediación de argumento físico alguno, simplemente por un argumento geométrico, por una propiedad intrínseca de la hipersuperficie en cuestión. Pero todavía hay algo más. Supongamos que la variable representa la energía cinética de una partícula en un gas ideal. La energía es cuadrática respecto a la velocidad, y la hipersuperficie en este caso es la hiperesfera. Entonces la distribución final de las velocidades en ese gas será la Maxwelliana (Gausiana). En definitiva, si hay un mecanismo de caotización (‘caos molecular’ en este caso) que asegure la hipótesis ergódica sobre la hiperesfera, entonces la distribución Gausiana es un punto fijo atractivo para la evolución temporal del gas en el espacio de todas las posibles distribuciones. Esto fue lo que demostró Boltzmann suponiendo solamente colisiones binarias, es decir, Boltzmann vino a decirnos que las colisiones binarias es un mecanismo suficiente para generar la equiprobabilidad final de todos los estados accesibles por el sistema. Y su demostración es el llamado Teorema-H, del cual se deriva todo esa parafernalia que se resume en la frase ‘la entropía de un sistema aislado siempre crece’. Atención al dato porque la teoría cinética, que yo sepa, sólo lo demuestra en este caso. Pero nada prohibe que puedan existir otros mecanismos generadores de ‘caos molecular o estadístico’, entendiendo por éstos los mecanismos dinámicos capaces de asegurar la hipótesis ergódica sobre el espacio de fases. La grandeza de Boltzmann consistió en demostrar analíticamente, para asombro de sus coetáneos, que nisiquieran aceptaban la entonces hipótesis atómica, que al menos existe uno de esos mecanismos, tal es el caso de las colisiones binarias. Pero tal cual Uds. están pensando, es verdad que pueden existir otros mecanismos de randomización de un sistema de muchos agentes que pueden asegurar la hipótesis ergódica, es decir, que llevan al sistema a la equiprobabilidad en la hipersuperficie sobre la que evolucionan. Y les voy a dar otro ejemplo y con esto acabo este pequeño discurso. Yakovenko y Dragulescu hicieron (vean referencias de los trabajos abajo citados) un modelo sencillo de cómo se distribuye el dinero en un sistema de agentes, y con sólo dos suposiciones reencuentran la distribución exponencial (Maxwell-Boltzmann-Gibbs) en el estado final del sistema, que por otro lado es lo que se encuentra en las economías reales occidentales para el 90% de la población. Otro día hablaremos del otro 10% restante, es decir, de todos aquellos mortales que son privilegiados en lo que respecta a su bolsillo. Pues bien, esas 2 suposiciones son: (1) interacción binaria entre agentes, (2) los agentes intercambian de forma random su dinero, lo cual evidentemente implica su conservación. Quizás estarán Uds. intuyendo que es lo mismo que hizo Boltzmann con las colisiones binarias en un gas de partículas, y en verdad que la idea es la misma pero hay una sutil diferencia, en las colisiones binarias en un gas hay que conservar 2 magnitudes, el momento y la energía, y en el caso de la interacción binaria de agentes sólo se conserva una magnitud que es la cantidad de dinero. De cualquier manera, ése también es un mecanismo generador de ‘caos molecular’ (equiprobabilidad final) y randomiza el sistema a la Boltzmann. ¡Maravilloso!… Acabo aquí esta disquisición, porque el problema queda abierto para todos aquellos que quieran buscar nuevos mecanismos de ‘caos estadístico’ o randomización, que por supuesto, no tienen por qué estar ligados ni a procesos energéticos ni a procesos colisionales… Queda la veda abierta, y a los intrépidos que se atrevan con ello, les deseo mucha suerte en su búsqueda. ¡¡La aventura bien vale la pena!!. (Refs.: American Journal of Physics, vol. 75, pp. 752-753, 2007 ; ibid., vol. 76, pp. 780-781, 2008).

Ricardo López-Ruiz.

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(Universidad de Zaragoza).