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TEORIA DEL CAOS Y FRACTALES

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Los fractales son la representación geométrica de la teoría del caos. Llamamos caos a todo aquello que no somos capaces de sistematizar.

En 1970, desafiando la física clásica, unos pocos científicos de Estados Unidos y Europa comenzaron a buscar un camino a través del desorden: fue el comienzo de la teoría del caos. Matemáticos, físicos, fisiólogos, economistas, químicos, biólogos, intentaron buscar conexiones entre diferentes tipos de irregularidades; reflexionaron que si bien hay fenómenos que pueden ser descriptos linealmente, es decir que el resultado de una acción es proporcional a su causa, la mayor parte de los fenómenos en la naturaleza son no-lineales, “incontrolables”, como el clima, las turbulencias, el tránsito en una gran ciudad, fluctuaciones en la bolsa, la física del cuerpo humano, etc.

Todo lo investigado se relacionaba directa y formalmente con el mundo natural -las formas de las nubes, las bifurcaciones arteriales, la textura pulmonar, las agrupaciones de estrellas, etc. Al mismo tiempo que el físico matemático Mitchell Feigenbaum comenzaba a pensar en la teoría del caos en Los Alamos, EEUU, en Berkeley se formaba un pequeño grupo de matemáticos que se dedicaba a estudiar “sistemas dinámicos”. En Berkeley, California, se estudiaba el complejo comportamiento de modelos biológicos simples; en Francia se estudiaban turbulencias en fluídos y atractores extraños  y en IBM, Benoit Mandelbrot, descubría modelos de comportamiento del precio del algodón a través de todas las escalas e inventaba un neologismo -fractal- para describir una familia de formas dobladas, fracturadas, plegadas que él consideraba un principio organizador en la naturaleza.

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La búsqueda de una explicación a los fenómenos complejos e irresolubles mediante modelos matemáticos, configuró la Teoría del Caos, de carácter interdisciplinar, que no niega la ciencia clásica sino que propone dejar de lado el reduccionismo, aplicando otros métodos de estudiar la realidad en una visión de todo. La principal ley de la teoría del caos es que hasta el desorden tiene sus reglas.

El sustento de esta nueva ciencia, que algunos consideran disciplina, se debe al matemático, físico y filósofo francés Henri Poincaré, quien a fines del S. XIX, destruyó la imagen clásica de la naturaleza al dudar de la estabilidad del sistema solar y considerar la extraña posibilidad de la existencia de órbitas erráticas y caóticas, preguntándose qué pasaría si al sistema ideal de dos cuerpos añadimos el movimiento de un tercer cuerpo?. Poincaré demostró que el caos es la esencia de un sistema no lineal y que aún un sistema completamente determinado, como los planetas en órbita, podrían tener resultados indeterminados. El sistema, de pronto podría romper en una inquietante complejidad.

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La teoría del caos sugiere un mundo fluído e interconectado, concebido como un todo. Contrariamente a los postulados científicos tradicionales, que toman a los seres humanos y la naturaleza como objetos individuales, la teoría del caos considera que todo tiene un valor intrínseco, como el arte. Esto se debe a los efectos no lineales o de retro-alimentación: por ejemplo, los planetas no pueden ser tratados como si sus efectos fueran independientes y se pudieran sumar: si la débil atracción entre un planeta y otro comienza a retro-alimentarse y a acumularse, algunos planetas podrían cambiar su órbita y hasta salir despedidos del sistema solar. Bajo la teoría del caos, los eventos no suceden al azar, las condiciones iniciales son determinantes, pero el producto, por ser dinámico y complejo, implica un resultado impredecible.

Los fractales representan los sistemas dinámicos, la geometría de la naturaleza, las infinitas retro-alimentaciones, en síntesis, lo que no puede ser medido en términos Euclidianos. Un fractal es un modo de ver el infinito.

El término que en latín significa fragmentario o interrumpido, fue presentado por el matemático polaco Benoit Mandelbrot (1924-) por primera vez en su libro “Les Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension” (1975).

Aún no se ha definido un fractal, sino se enumeran sus propiedades características:

Un fractal tiene una estructura fina; esto es detalle en escalas arbitrariamente pequeñas.

Un fractal es demasiado irregular para ser descripto con la geometría euclidiana tradicional, tanto local como globalmente.

Con frecuencia un fractal tiene una cierta forma de auto-semejanza, quizás aproximada o estadística.

En general, la “dimensión fractal” es mayor que su dimensión topológica.

Se pueden generar fractales geométricos en forma muy simple, por lo general recursiva. (Spinadel V., Perera J. G, Perera J.H. p. 2, 2000).

Muchos objetos en la naturaleza son mejor descriptos geométricamente como fractales, con caracteres de auto-semejanza en todas las escalas. El universo consiste en racimos de galaxias, organizado en racimos de racimos de galaxias, y así siguiendo.  Un excelente ejemplo de fractal es el coliflor: la flor grande contiene florcitas más pequeñas, que a su vez contienen otras, todas con la misma estructura.

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Si bien se ha hecho un esfuerzo por caracterizar los fractales geométricamente, no ha habido mucho progreso en comprender su origen dinámico. Tenemos una tendencia a pensar que el universo se forma a partir de estructuras estáticas porque la dinámica que forma estas estructuras tiene mayor escala que el período de observación, que puede ser la vida de un ser humano. Los terremotos que observamos duran unos pocos segundos, y la formación de la falla parece estática, pero se construye en millones de años.

Por lo tanto, el origen de los fractales es más bien un problema dinámico, no geométrico. Las leyes de su física son locales, pero los fractales nunca se organizan en las mayores distancias,  a no ser que sean absolutamente deterministas, como el Fractal de Mandelbrot.

Sobre Myriam Mahiques

Myriam B. Mahiques es arquitecta, graduada en la Universidad Nacional de Buenos Aires (Facultad de Arquitectura, Diseño y Urbanismo de Buenos Aires) en 1986. Ha colaborado en diversos Estudios y empresas constructoras, emprendido proyectos y construcciones en forma independiente, en Buenos Aires y California (Estados Unidos), incluyendo concursos y exposiciones en el área de arquitectura y pintura. En el ámbito académico se desempeñó como jefa de trabajos prácticos en la cátedras de Diseño de arquitectura Goldemberg y desde el 2002 hasta 2004 en Grinberg. Ha sido investigadora para el Instituto EFUR (Función de la Evolución Urbana); investigadora en el FOINDI (FADU), unidad temática “Tecnología para la Megalópolis” y “La Técnica en el Hombre Primitivo”. (Director: Prof. Consulto Arq. Horacio Pando). En el año 2001 obtiene la beca NuevaTec, otorgada por el Ministerio de Educación y la Facultad de Arquitectura, Diseño y Urbanismo, para desarrollar el tema “Morfología Urbana y Diseño Fractal”. Lugar de trabajo: The International Mathematics and Design Association (Directora: Dra. Vera W. de Spinadel). Actualmente reside en California, es Jefa de trabajos prácticos ad honorem del Laboratorio de Matemática y Diseño (FADU) y doctorando en el tema “Morfología Urbana y Diseño Fractal”. Mahiques realizó diversas publicaciones sobre arquitectura-urbanismo, y presentó trabajos en congresos nacionales e internacionales.

15 comentarios

  1. Estimada colega Mahiques: fui profesor de Historia en la FADU y ahora hace 25 años que me dedico al diseño del paisaje, estoy trabajando hace un tiempo para intentar relacionar la Teoría de las Estructuras Disipativas (Caos) con el desarrollo del paisaje urbano de la ciudad de Buenos Aires como un caso de caos.
    A partir de la segunda fundación, he tomado los tres elementos básicos que estuvieron en la misma: el río, la pampa y la cuadrícula, que han definido y siguen definiendo la estructura y el desarrollo de la ciudad,
    A partir de ahí, fui analizando los distintos periodos históricos de la ciudad, que coinciden (o mejor dicho determinan y coinciden con gran parte de la historia de todo nuestro país), analizando las planificaciones urbanas desde la de Juan de Garay hasta las últimas del siglo XX.
    La conclusión prima facie es que Buenos Aires es “implanificable” a la vista de todos los planes e intentos, y ahí es donde la veo como un caso de la Teoría del Caos, con sus estados de equilibrio, puntos de bifurcación y desequilibrios…
    Podríamos hablar de esto?

    Un cordial saludo.

  2. Cáncer y Bolsa: de Fractales a Atractores:
    Por Carlos Torres Miranda
    NOTAS:

    a) FRACTALES: se basan en ecuaciónes matemáticas complejas (imaginarias o
    analíticas).
    Se representan ecuaciones con números complejos.
    Ejemplo: el fractal de Mandelbrut (en la naturaleza).
    b) ATRACTORES: se basan en patrones que se generan al repetir un mismo
    experimento matemático o físico-químico infinitas veces,
    Se representan sistemas de ecuaciones diferenciales.
    Ejemplo: el atractor de Lorenz (usado para controlar
    fenómenos atmosféricos).
    c) CONSTANTES: son claves para la concatenación de a) y b), igualándolas.

    PROCESOS:

    1.- CÁNCER:

    Creo firmemente que para los Cánceres, en los Fractales y los Atractores (comocontraesencia a los Fractales), se encuentra la llave de un método para la sanación, por métodos puramente MATEMÁTICOS, y no bioquímicos, del Cáncer, con la inestimable ayuda subordinada de otras disciplinas.
    El Cáncer como proceso caótico desarrollado como un fractal se ordenaría y confinaría en su/s Atractor/es Asociado/s correspondiente/s.
    Es decir, analizando el Fractal, se hallaría su Atractor Asociado (ó recíprocamente), se confinaría el Cáncer en él, y sería lo que se examinara exhaustivamente para curar los Cánceres, así como otras enfermedades. Esto convertiría el Cáncer en una entelequia (o recuerdo).
    2. BOLSA:
    Intercambiando “CÁNCER” por “BOLSA”, tal vez se podría controlar asimismo el
    Mercado, es decir, las Cotizaciones de los Valores de los Mercados Bursátiles de la
    Bolsa.
    Como volvemos a tratar con teorías como las del Orden y el Caos,
    en Ambientes de Incertidumbre ó de Certidumbre con Riesgo Fijado en el caso del
    Mercado, se haría nuevamente considerando éste como un Fractal que generaría
    Resultados económicos (Beneficios ó Pérdidas).
    La Economía mundial podría ir mejor con éstos patrones: Fractales que se
    mejorarían posteriormente con Atractores, maximizando ó minimizando a
    conveniencia los Resultados, económicos ú otros, en aras ó con la Utilidad, de
    funcionar mejor todo.

    ANEXO

    Ya se habla de que las tres teorías más punteras de la física actualmente pueden ser:
    Relativista o de lo grande (Lorentz, Einstein …)
    Cuántica o de lo pequeño (Heisenberg, Bohr…)
    Orden y Caos o de lo caótico (fractal de Mandelbrut, atractor de Lorenz …)

  3. HOla Isabel, en principio no tengo problema, esta imagen fue realizada con dos softwares para poder ver los zooms y armarlos en una sola imagen. Por supuesto quisiera saber el tema general de la reunión, para que mi nombre no se vea involucrado en algo inconveniente para mi integridad. Podés mandarme un email entonces, la web preferiría que usen la de mi blog personal, gracias.

  4. Buenos días.
    La tercera foto sobre fractales que aparece en este artículo es estupenda y quisiéramos usarla en un pequeño cartel (DIN4) para anunciar una reunión. ¿Es posible hacerlo? Debajo de la foto irá su nombre y la dirección de la página web.

    A la espera de su respuesta, recibe un cordial saludo.

  5. añadir el detalle sobre caos y fractales que una dinámica no-caótica también puede generar una figura fractal… es decir, no hay una relación biunívova entre ambos conceptos… (la foto de la que hablas, para más detalle, está tomada en Crimea, lugar ciertamente hermoso allí donde los haya).

  6. jorge clavijo

    hola amigos….. soy nuevo en este tema q es muy interesante, quisiera saber q relacion hay entre fractales y caos, no logro encajar estos dos consectos para poder entender:

    1) porq siempre se encuentran estos temas juntos?¡
    2) que relacion tienen los dos, uno afecta a el otro, o el otro forma a el otro ….?¡’¿?¡’¿’¡

    gracias por su pronta respuesta….
    (URGENTE)

    • Hola Jorge, estoy tratando de darte una respuesta sumamente simple, y a no desesperar!. La teoría del caos surge casi por casualidad, pero no en un país, si no en varios. Imaginate, cuando los investigadores en distintas disciplinas ya tienen computadoras y van cargando datos. luego los output (resultados) muestran situaciones imprevistas, como en meteorología. Lo que has predicho, de pronto, por alguna razón, se dispara a un hecho totalmente distinto. Es lo que comunmente se dice que un aleteo de mariposa puede crear un tornado. Esto es el principio de la teoría del caos. Ahora, estas computadoras, dan por resultado una gráfica. Esta gráfica no es una imagen Euclidiana, digamos no es un esquema basado en cuadrados, rectángulos, círculos, etc. La gráfica pertenece a otro tipo de geometría. Hasta que Benoit Mandelbrot, trabajando en los ´70 para IBM, haciendo estadísticas, descubre estas cuestiones pero relacionadas con la Bolsa, y cuando imprime las gráficas las llama fractales que significa ¨interruptus¨ o ¨fractus¨. De ahí en más, los fractales evolucionan increíblemente en sus gráficas geométricas. Como dice el artículo, el fractal es la representación geométrica de una teoría. La teoría son los hechos, verificables o no, y los fractales son el dibujo digitalizado de la situación compleja analizada. Con respecto a cuál afecta a cual, la situación es la que genera al fractal. Cuando trabajamos con hechos sociales, una situación emergente puede ser representada en una computadora, el fractal es el resultante. No es al revés. PERO los fractales ayudan a simular situaciones, previsibles. En este caso, con las simulaciones de ciertas situaciones, el fractal implica una situación. Espero haberte ayudado. Saludos, Myriam

  7. Me olvidaba, en los ‘sistemas dinámicos’ también está el Número de Oro. Encontré que la constante de Feigenbaum se puede definir con él.

  8. ¡Hola Myriam, gracias! conozco Nexus Network, he intervenido en algunas ‘queries’. Verdaderamente esa área del conocimiento es fascinante, aunque infortunadamente no tan divulgada, como sería de beneficio de todos, para comprender mejor lo que nos rodea, y utilizarla en la producción de todo tipo de obras, artísticas, industriales o artesanales; en forma generalizada y no solamente reservada a pocos, en su estudio o aplicación . Precisamente, con ese interés, en los próximos días publicaré un libro sobre la presencia del Número de Oro en la Naturaleza y en lo mejor de la obra humana, como producto de la investigación que realizo, por más de treinta años, en diferentes campos, con la gran fortuna de haber encontrado en éstos esos “patrones subyacentes”, como dices. ¡Saludos cordiales!

  9. Es notable y necesario tomar en cuenta que en la fractalidad en la Naturaleza y en las figuras creadas, la simetría, entendida como la ‘correspondencia entre las partes’, como un asunto de ptoporciones armónicas, muestra la presencia del Número de Oro; es cuestión de buscarlo. Precisamente, lo encontré en la configuración fractal de una coliflor, como la que se muestra.
    En lo relativo a la relación entre la fractalidad y el caos, no es vano recordar que éste, en forma indiferente a su duración, es nada más que la transición hacia un nuevo orden, otra vez con proporciones armonicas.

    • Gracias Carlos, con respecto al n’umero de oro te recomiendo buscar artículos en Nexus network, es realmente fascinante. Exactamente, es un nuevo orden, el tema está en reconocer los patrones subyacentes. Saludos!

  10. Perdón, olvidé mencionar que la foto del coliflor no me pertenece, la he bajado de la web hace más de un año y lamento no encontrar la referencia. Gracias.

  11. Hola, por supuesto, cada contribución es bienvenida! Las figuras lamentablemente salieron sin la referencia, los dos primeros fractales son de mi autoría, la figura 3, es el fractal de Mandelbrot al que yo le apliqué la herramienta ZOOM para verificar justamente lo que Ud dice, a medida que cambiamos la escala, la estructura es la misma. Sin embargo, Mandelbrot ya había previsto el problema de la organización local. Por ejemplo, los dos primeros fractales, si hacemos zoom, no podemos ver una autosemejanza exacta. Llevando el ejemplo a la práctica, (yo lo aplico en ciudades), las ciudades que tienen tendencia a la fractalidad, suelen tener una ¨tendencia a la autosemejanza¨, con organizaciones locales que provienen de su contexto histórico, político, social. Muchas gracias!

  12. Myriam, si me permites este pequeño complemento a tu texto aquí lo dejo:

    CAOS = sensibilidad a las condiciones iniciales = impredecibilidad

    FRACTAL = estructura geométrica de dimensión no entera = en cada zoom se repite la estructura

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